Задача 1. В бесконечном ряду из натуральных чисел первое число...

Задача 1. В бесконечном ряду из натуральных чисел первое число однозначно, а каж дое следующее число получается прибавлением к предыдущему одной из его ненуле вых цифр.
(а) Докажите, что в ряду есть число, начинающееся цифрами 2024. (б) Докажите, что такое число встретится среди первых 30000 чисел последователь ности.
Задача 2. На ВТЭКе подготовили 110 приборов для физпрака. Половина из них вольтметры, а половина — амперметры. Все приборы выставили в один длинный ряд. Докажите, что есть 10 из них, стоящих рядом, среди которых вольтметров и ампер метров поровну.
Задача 3. На доске написаны числа 1/2024 и 1/2025. Андрей и Борис играют в сле дующую игру: Андрей называет число x, а Борис увеличивает одно из написанных чисел на x. Андрей выигрывает, если на доске когда-нибудь появится число 1, если за 10000000 ходов такого не случилось, то победа достается Борису. Кто выиграет при правильной игре?
Задача 4. В квадрате 20 * 20 закрашено 90 клеток. Докажите, что какие бы это ни были клетки, можно разрезать квадрат по границам клеток (а) на 2 связные части. в одной из которых будет ровно 30 закрашенных клеток, (б) на 2 равные связные части, в которых поровну закрашенных клеток.
Задача 5. Грани восьми единичных кубиков окрашены в чёрный и белый цвета так, что чёрных и белых граней поровну. Докажите, что из этих кубиков можно сложить куб 2 * 2 * 2, на поверхности которого чёрных и белых квадратиков поровну. Задача 6. Эльф и гном пытаются поделить драгоценные камни из ожерелья, со стоящего из 40 алмазов и 80 изумрудов. Каждый хочет получить 20 алмазов и 40 изумрудов. Какое минимальное число разрезов ожерелья надо сделать для этого? Задача 7. Карлсон курощает Фрекен Бок. В полночь он запер ее в комнате и выдал 100 пончиков. Ровно половина из них с ванильной начинкой, остальные — с шоколад ной. (Какие пончики с какой начинкой знает только Карлсон).
Каждые полчаса Фрекен Бок раскладывает пончики на двух тарелках (не обязатель но поровну). Если после раскладывания на тарелках окажется поровну ванильных или поровну шоколадных, курощение прекратится. Если надкусить или разломить пончик — не прекратится никогда. Сможет ли Фрекен Бок закончить курощение не позже 12:30?