Решить 8 задач по высшей математике

1. Дан прямоугольный параллелепипед
a?b?c
, разбитый на ячейки
1?1?1.
Найти максимальное количество плоских стенок
1?1
, при котором в
построенном лабиринте можно добраться из любой ячейки в любую
другую.
2. Функция f (x) такова, что ? ? ? ? верно, что ?(? + 1) + ?(? ? 1) =
?2?(?). Доказать, что f (x) периодична.
3. Доказать, что ?(?, ?) = ?
2007 ? ?
2008 + 1, нельзя представить в виде
произведения двух функций, одна из которых зависит только от x, а
другая только от y.
4. Пусть
f x( ) — четная, дважды непрерывно дифференцируемая
функция, причем
f x ??( ) ? 0
. Доказать, что точка
x = 0
является точкой
экстремума этой функции.
5. Обнаружить неточности в следующей цепи рассуждений: интегрируя по
частям в интеграле
2
cos 1 cos , cos , , sin ,
sin sin sin
x x dx u xdx dv du dx v x
x x x
? ? ? ? = = = ? =
? ? ?
будем иметь
2
cos 1 cos cos cos cos sin sin 1 2 ...
sin sin sin sin sin sin
x x x x x dx x x dx dx dx n dx
x x x x x x
= ? + = + = + = = + ? ? ? ? ?
откуда
0 1 2 ... = = = = n.
6. Доказать тождество:
2
2
2arctg arcsin
1
x
x
x
+ = ?
+
при
x ?1.
7. Сколько действительных корней имеет уравнение
x 2
e ax =
в зависимости
от параметра
a
?
8. Пусть ??
??
– несократимая дробь, такая, что
??
??
= ?
1
?
?
?=1
. Назовем простое
число p хорошим, если оно делитель числа ?? при некотором n.
Докажите, что множество хороших простых чисел бесконечное