Математика

В каждой задаче:

n = 6

m = 2

k = 1

1. (1 балл) В сундуке лежат n деревянных и m золотых ложек, одинаково запакованные. Три богатыря (Алёша Попович, Добрыня Никитич и Илья Муромец) поочередно достают из сундука пакеты. Золотую ложку получает тот, кто первым ее вытянет. После первой золотой ложки соревнование заканчивается (сундук закрывается до следующего праздника). Оцените шансы на успех каждого богатыря. 

2. (2 балла) В стольный град приезжают гости, каждый из которых с вероятностью 0.01·k может провезти в город запрещённый продукт. В дозоре стоят три богатыря; гость досматривается только одним богатырём, с одинаковой вероятностью Алёшей Поповичем, Добрыней Никитичем или Ильей Муромцем. Вероятность обнаружения контрабанды (если она имеется) для АП равна 0.95, для ДН равна 0.96, для ИМ равна 0.97. Если контрабанда не была обнаружена дозорными, то гость въезжает в город, где его в городских воротах встречает Юлий, который обнаруживает запрещённые продукты с вероятностью 0.99. Определите вероятности следующих событий:

А – гостя не пустят в город богатыри

В – гостя не пропустит Юлий

С – гостя не пустят в город

3. (1 балл) В гардеробе князя Киевского n новых платков и k использованных. Сегодня князю наугад дали два платка, которыми он пользуется. После этого платки стирают и возвращают в гардероб. Завтра из гардероба снова возьмут наугад два платка. Найти вероятность того, что они оба будут новыми. 

4. (1 балл) Добрыня Никитич может обратиться с вопросом к одной из трёх голов Змея Горыныча. Вероятности обращения к каждой голове зависят от их местоположения и равны соответственно 0.25, 0.55, 0.2. Вероятности того, что к моменту прихода Добрыни голова Горыныча будет занята своими делами, равны: для первой головы – 0.05 · m, для второй – 0.7, для третьей – 0.2. Добрыня пришел к Горынычу, задал ему вопрос и получил ответ. Найдите вероятность того, что ему ответила первая голова.

5. (2 балла) Змей Горыныч совершает налёт на становище Соловья Разбойника и его товарищей. Становище защищено четырьмя группами разбойников. Каждая группа защищает угловой сектор размерами 60°, так что из полного угла 360° вокруг становища оказываются защищенными 240°. Если Змей Горыныч пролетает через защищенный сектор, на него нападают, и каждая голова повреждается с вероятностью k · 0.03; через незащищенный сектор он проходит беспрепятственно. Каждая неповрежденная голова, добравшаяся без повреждений до становища разбойников, пускает огонь и поражает становище с вероятностью 0.05 · n. Горыныч не знает, где расположены защитные группы. Найти вероятность поражения становища Соловья Разбойника, если направление подлёта выбирается случайно.

6. (2 балла) Три богатыря совершают налёт на становище Соловья Разбойника и его товарищей. Становище защищено четырьмя группами разбойников. Каждая группа защищает угловой сектор размерами 60°, так что из полного угла 360° вокруг становища оказываются защищенными 240°. Если богатырь проезжает через защищенный сектор, его обстреливают и выводят из строя с вероятностью k · 0.03; через незащищенный сектор он проходит беспрепятственно. Каждый богатырь, прошедший к становищу разбойников, разгромит его с вероятностью 0.05 · n. Богатыри не знают, где расположены защитные группы. Найти вероятность поражения становища Соловья Разбойника, если каждый из богатырей выбирает себе направление атаки случайно независимо от других.

7. (1 балл) В спецназе князя Киевского 5 охранников. Надежность в течение месяца каждого из них равна 1 – 0.01 · (n + m + k). Охранники могут заболеть независимо один от другого (незаразная болезнь). Найдите вероятность того, что за месяц: 

а) заболеет хотя бы один; 

б) заболеет ровно один; 

в) заболеют все; 

г) заболеют не менее двух.