Нужно найти парадоксы во всех 3 заданиях.

Во всех задачах надо ответить на вопрос "в чем обман?"

1. Лемма: «Если в мешке лежат 3 шара и вероятность вынуть красный 2/3, то красных там два». Пусть теперь в мешке два независимых шара, каждый может равновероятно быть красным или белым. Добавим один красный. Теперь (вынуть красный) = 1/4·1/3 +2/4·2/3 +1/4·3/3 =2/3. Значит, по лемме красных два. Один мы добавили, т. е. перед тем шары были разных цветов.

2. Есть счетный набор карточек, на одной стороне n-й карточки написано 10^(n−1), на другой 10^n, где n = 1, 2, . . .. Вынули случайную карточку (n-я появится с вероятностью 1/2^n) и помести ли ее между двумя игроками. Каждый может взять или то число рублей, какое число он видит, или то, что на обратной стороне карты. Первый думает, например, «я вижу число 100. Если я попрошу перевернуть карточку, то в среднем получу 1000/3 + 10 · 2/3, что больше ста». Симметрично и второму выгоден переворот карты. Но тогда их суммарный средний выигрыш тоже вырастет? Примечание: безусловные математические ожидания выигрыша бесконечны, но речь в задаче идет об условных, а они конечны.

3. X, Y — независимые стандартные нормальные с.в.; R, α — соответствующие им полярные координаты. Они тоже независимы. Посчитаем двумя способами дисперсию R^2 при условии, что наша точка попала на главную диагональ плоскости. С одной стороны, это D(X^2 + Y^2 | X = Y ) = D(X^2 + X^2) = 4D(X^2). С другой, это D(R^2 | α = π/4 ∨ α = 5π/4) = D(R^2) = D(X^2 + Y^2) = D(X^2) + D(Y^2) = 2D(X^2).