Контрольная

1.      В множестве X натуральных чисел 30 элементов. Если натуральные числа a и b не принадлежат X, то 2a, 2b, a + b тоже не принадлежат X. Найдите наибольшее значение суммы всех элементов из X.

2.      Есть 60 городов, которые соединены дорогами так, что для любых городов A, B, C, D будут две дороги, соединяющие город A, например, с городом B, а город C — с городом D (или AC и BD, или AD и BC). Какое наименьшее количество дорог может быть?

3.      В регионе 8 городов, любые два из них соединены между собой не более чем одной дорогой, и нет замкнутого маршрута, проходящего через 4 города. Какое наибольшее количество дорог может быть?        15

4.      Записаны все натуральные делители некоторого натурального числа. Среди них есть ровно 50 чисел, дающих остаток 2 при делении на 8, ровно 25 чисел, дающих остаток 3 при делении на 8, и ровно 100 чисел, дающих остаток 4 при делении на 8. Сколько чисел, которые при делении на 8 дают остаток 7?

5.      Точки D и E на сторонах AB и AC равностороннего треугольника ABC такие, что DE касается вписанной в треугольник ABC окружности. Найдите сторону треугольника ABC, если CE = 2, BD = 3.

6.      Последовательность an такова, что: a1, a2 — произвольные числа, an = min{|ak − as|, 1 ≤ k < s ≤ n − 1 при n ≥3}. В одной из последовательностей a10 = 1. Найдите наименьшее возможное значение a3 в такой последовательности.