Ответить на вопросы к билету.

Вопрос № 14. Многочлены над полем комплексных и действительных чисел.
Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.
Аннотация теоретического вопроса: Дайте понятие: корня многочлена; неприводимого многочлена над полем; кратного неприводимого множителя; кратного корня многочлена. Ответы проиллюстрировать примерами. Сформулировать признаки кратности (неприводимого множителя, корня). Сформулировать и доказать теорему об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. Дайте описание многочленов, не приводимых над полем действительных чисел. Докажите, что любой непостоянный многочлен с действительным коэффициентом можно представить в виде произведения многочленов с действительными коэффициентами, степень которых не превосходит числа 2.
Задания к вопросу:
1. Разложите на неприводимые множители над полем действительных чисел данный многочлен f(x).
2. Докажите, что, если комплексное число ? является корнем некоторого многочлена f(x) с действительными коэффициентами, то и сопряженное к нему число также будет корнем f(x);
3. Докажите, что всякий многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.