Решить три задачи

1. Компьютер может быть либо в режиме занятости (обработки задачи), либо в режиме ожидания, когда нет заданий для обработки, либо быть выключенным. Находясь в режиме занятости, он может закончить задачу и войти в режим ожидания в любую минуту с вероятностью 0,2. Находясь в режиме ожидания, он получает новую задачу в любую минуту с вероятностью 0,5 и переходит в режим занятости, а с вероятностью 0,1 будет выключен. Если компьютер выключен, то с вероятностью 0,05 его включат и он перейдёт в следующую минуту в состояние ожидания. В исходном состоянии компьютер находится в режиме ожидания. Спрашивается
а) вероятность того, что компьютер будет занят обработкой некоторой задачи две минуты спустя
б) каково относительное время (доля от общего), когда компьютер включен, но бездействует (в стационарном режиме процесса)
2. Рассмотрим так называемый процесс случайного блуждания на целочисленном отрезке [0, N]. Номерами состояний цепи Маркова будут числа от 0 до N, а переходить можно лишь в состояние с номером, отличающимся на единицу, с вероятностям
pi,i+1 = 1 ? pi,i?1 = p при i = 1, . . . , N ? 1 и p0,0 = pN,N = 1. Рассмотрим случай N = 4 и p =2/3. Найти вероятности поглощения за 3 шага крайним состоянием 0 и крайним состоянием 4 (т.е. найти две вероятности), для произвольно выбранного номера k начального состояния
3. На почтовом отделении проходит реорганизация. Требуется, чтобы среднее ожидание клиента в очереди во время пиковой нагрузки не превышало 10 минут. В пиковый момент клиенты приходят как простейший поток с интенсивностью 90 человек/час, будем считать длительности всех операций с клиентами одинаково распределёнными по экспоненциальному закону E30.