Решить задачу вариант №12 по кинематике

Определить и изобразить на чертеже траекторию движения точки, за начало движения принять момент времени t=0. Определить скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения в момент времени t = 1с. Рассчитать радиус кривизны в соответствующей точке траектории в заданный момент времени.
В последующих расчетах потребуются знание тригонометрических формул cos 2?=1–2sin2?=2cos2?–1; sin2?=2sincos, а такженавыки дифференцирования.
Пример решения задачи
Дано: Уравнения движения точки в плоскости xОy:
x = –2 cos4t + 3; y = 3 sin 4t– 1,
где x, y – в метрах, t – в секундах.
Определить и показать на чертеже уравнение траектории точки. Вычислить ее скорость и ускорение в момент времени t=1с. Определить касательную и нормальную составляющие ускорения в этот же момент времени, а также радиус кривизны траектории в месте ее нахождения через 1с после начала движения. Показать векторы скорости и ускорения этой точки.
Решение
Уравнения движения заданы в параметрической форме. Определим уравнение траектории точки, исключив из уравнений движения параметр (время t). Для этого выразим из уравнений движения тригонометрические функции
cos4t=3-x2, sin4t=y+13,
возведем их в квадрат и воспользуемся тригонометрической формулой sin2+cos2=1:
3-x24+ y+129=1.
Полученное уравнение является уравнением эллипса (рис. К1). Построить траекторию точки можно любым способом, например, по точкам, с помощью компьютера, или с использованием характерных признаков эллипса: положения его центра, длины полуосей. Укажем на траектории начальное положение точки.
Найдем на траектории положение точки М через t=1 с после начала движения, определив ее координаты:
xt=1c=1,59м, yt=1c=1,12м .
Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси, учитывая дифференциальную зависимость между координатами и проекциями скорости:
Vx =dx dt=2sin4t; Vy=dydt=3?4cos4t;
V=Vx2+Vy2.
Для момента времени t=1с они равны: Vx=1,11м/c; Vy=1,67м/c; V=2,0м/c.
Используя дифференциальную зависимость между скоростью и ускорением, найдем ускорение точки:
a=ax2+ay2,
ax =dVx dt=28cos4t и ay=dVydt=3216sin4t.
Для момента времени t=1с они равны: ax=0,87м/c2; ay=-1,30м/c2; a=1,57м/c2.
Спроецируем ускорение на касательное направление:
a=axcos?+aysin?, где cos?=VxV, sin?=VyV.
После подстановки и преобразования получим a=axVx+ayVyV, тогда нормальное ускорение an=a2-a2, а радиус кривизны траектории ?=V2an.
Для t=1с получим: a=–0,6 м/c2; an=1,67 м/c2; =2,38 м.
Покажем найденные кинематические характеристики точки М, изображенной на траектории (см. рис. К1).
Ответ: V=2,0 м/с; a=1,57м/с2; a=–0,6 м/с2; an=1,67 м/с2; =2,38 м.