Решить контрольную

1. Есть два простейших потока с интенсивностями ?1 и ?2 соответственно.
Найти условную вероятность
P(« в первом потоке 3 события на интервале [1,5], 2 события на интервале [2,4] и 1 событие на интервале [4,6]» | «в сумме потоков 5 событий на интервале [1,6]» )
2. Группа в социальной сети имеет запрещённое содержание. В неё вступают пользователи как простейший поток с интенсивностью 12 человек/час. Когда численность подписавшихся достигает 1000, группу закрывают. Но администратор тут же открывает новую группу того же содержания.
а) Сколько этих групп закроют за месяц – дайте ожидаемое число? Обосновать, опираясь на теоремы из лекций.
б) 997-й участник сразу начинает скачивать себе на компьютер содержимое группы со скоростью 0,2 мбайт/ сек. Какова вероятность, что он успеет скачать видеоролик, размером 200 мбайт?
3. Является ли цепь Маркова с такой матрицей перехода эргодической, почему?

4. Компьютер может быть либо в режиме занятости (обработки задачи), либо в режиме ожидания, когда нет заданий для обработки, либо быть выключенным. Находясь в режиме занятости, он может закончить задачу и войти в режим ожидания в любую минуту с вероятностью 0,2. Находясь в режиме ожидания, он получает новую задачу в любую минуту с вероятностью 0,5 и переходит в режим занятости, а с вероятностью 0,1 будет выключен. Если компьютер выключен, то с вероятностью 0,05 его включат и он перейдёт в следующую минуту в состояние ожидания. В исходном состоянии компьютер находится в режиме ожидания. Спрашивается:
а) вероятность того, что компьютер будет занят обработкой некоторой задачи две минуты спустя;
б) каково относительное время (доля от общего), когда компьютер включен, но бездействует (в стационарном режиме процесса)?
5. Рассмотрим так называемый процесс случайного блуждания на целочисленном отрезке [0, N]. Номерами состояний цепи Маркова будут числа от 0 до N, а переходить можно лишь в состояние с номером, отличающимся на единицу, с вероятностями
pi,i+1 = 1 ? pi,i?1 = p при i = 1, . . . , N ? 1 и p0,0 = pN,N = 1. Рассмотрим случай N = 4 и p =2/3. Найти вероятности поглощения за 3 шага крайним состоянием 0 и крайним состоянием 4 (т.е. найти две вероятности), для произвольно выбранного номера k начального состояния.

6. На почтовом отделении проходит реорганизация. Требуется, чтобы среднее ожидание клиента в очереди во время пиковой нагрузки не превышало 10 минут. В пиковый момент клиенты приходят как простейший поток с интенсивностью 90 человек/час, будем считать длительности всех операций с клиентами одинаково распределёнными по экспоненциальному закону E30.
.