Случайные направления в трехмерном пространстве.

Случайные направления в трехмерном пространстве.
Случайный вектор единичной длины можно генерировать, задавая его сферические угловые координаты (углы ?, ?, в каких пределах они меняются?)
через случайные числа ? с однородным распределением в интервале от 0 до 1
cos ? = 2?1 ? 1, ? = 2??2.
Проверить, что этот рецепт действительно позволяет генерировать однородное распределение, т.е. число концов векторов, попадающих в некий пространственный угол на сфере зависит только от величины этого угла, но не зависит от его расположения. Можно брать небольшой интервал ??, ?? около углов ?0, ?0 (т.е. ?0± ??, ?0± ??), тогда величина пространственного угла будет ? 4 sin ?0????. Проверить это утверждение генерацией 106 точек на сфере и подсчетом числа точек, попавших в пространственные углы равного размера вокруг точек (?0, ?0): (?/2, 0), (?/4, ?/2), (??/3, ?) (продумать, как задавать величины ??, ??).