Высшая математика, Теория вероятностей

Решение задачи на классическую вероятность
Задача 1: Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает её наугад. Определить вероятность того, что ему придётся звонить не более чем в 3 места.
Решение: Вероятность набрать верную цифру из десяти равна по условию 1/10. Рассмотрим следующие случаи:
1. первый звонок оказался верным, вероятность равна 1/10 (сразу набрана нужная цифра).
2. первый звонок оказался неверным, а второй - верным, вероятность равна 9/10*1/9=1/10 (первый раз набрана неверная цифра, а второй раз верная из оставшихся девяти цифр).
3. первый и второй звонки оказались неверными, а третий - верным, вероятность равна 9/10*8/9*1/8=1/10 (аналогично пункту 2).
Всего получаем P=1/10+1/10+1/10=3/10=0,3 - вероятность того, что ему придется звонить не более чем в три места.
Ответ: 0,3
Комбинаторика
Задание. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она
выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?
Решение. Имеем набор {я, я, г, г, г}. Всего перестановок пятиэлементного множества
5!, но мы не должны учитывать перестановки, в которых объекты одного типа меняются
местами несколько раз, поэтому нужно поделить на возможное число таких перестановок:
2! · 3!. Получаем в итоге
5!
2! · 3! = 3 · 4 · 5
2 · 3
= 10.
Ответ: 10 способов.
Тема: Случайные процессы
Задание. Найти mX(t), KX(t1, t2), DX(t), если X(t) = U · e−t2
, где U — случайная
величина с характеристиками mU = 5, DU = 0, 001.
Решение. Математическое ожидание случайного процесса X(t):
mX(t) = M
U · e−t2
= e−t2
M(U) = e−t2
mU = 5e−t2
.
Дисперсия случайного процесса X(t):
DX(t) = D
U · e−t2
= e−t2
D(U) = e−t2
DU = 0, 001e−t2
.
Корреляционная функция случайного процесса X(t):
KX(t1, t2)=0, 001e−t2
1 e−t2
2 = 0, 001e−(t2
1+t2
2).