Гиппократовы луночки

Два пересекающихся круга на плоскости задают луночку Гиппократа. Луночка Гиппократа - это множество тех точек в первом круге, которые не лежат во внутренности второго круга (пример лу-ночки из жизни - освещённая часть луны во время неполного лунного затмения).
Луночка построима, если радиусы обоих кругов можно построить циркулем и линей-кой при условии, что изначально на плоскости задан единичный отрезок. Луночка квадрируема, если можно построить циркулем и линейкой квадрат той же площади, что и луночка.
В V веке до н.э. древнегреческий математик Гиппократ Хиосский нашёл три примера построимых квадрируемых луночек, а ещё два примера нашёл Валлениус в 1766 году (спустя две с лишним тысячи лет). Эти примеры изображены на рисунке слева (луночки закрашены жёлтым), а узнать, из каких соображений их придумали (и каковы их точные параметры), можно из книги |1| (глава Гиппократ Хиосский), популярной статьи [2) или видеоролика [3].
Как доказать, что эти пять луночек построимы и квадрируемы? Для левой верхней это несложно сделать, используя соображения равносоставленности и подобия (как на рисунке справа). Для остальных уже не так просто, но не требует знаний за пределами школьной математики.
Как доказать, что никаких других построимых и одновременно квадрируемых лу-ночек не существует? На этот вопрос ответили уже в нашем веке (статья (4)), причём ответ использует важные результаты о транцендентных числах, полученные в прошлом и позапрошлом веках. Транцендентно ли число т? Может ли комплексное число 2" быть алгебраическим, если и и w - алгебраические иррациональные числа? Эти вопросы естественно возникают при попытках выяснить, когда площадь луночки является алгебраическим числом (и Гиппократ заинтересовался луночками в связи с задачей о квадратуре круга).
Конечно, в задаче о луночках важную роль играет и теория Галуа. Например, можно ли построить циркулем и линейкой sin 27? A sin 27? Или /2? Основы теории Галуа и её приложения к задаче о луночках есть в книге [4), предназначенной для младшекурсников.
????История математики, часть 1, В.В. Прасолов // МЦНМО, 2018
????History of mathematics as a tool, Barry Mazur // записки лекции
????Lunes - Numberphile // видеоролик канала Numberphile
???Hippocrates' Lunes and Transcendence, Kurt Girstmair // Expo. Math. 21(2003), 179-183
???Теория Галуа, М.М.Постников // ГИФМЛ, 1963