133. во вписанном пятиугольнике abcde верны равенства ab = bc, cd = de

133. Во вписанном пятиугольнике ABCDE верны равенства AB = BC, CD = DE. Докажите, что
прямая BD отсекает от треугольника ACE равнобедренный.
134. Угол A треугольника ABC равен 120?
. Докажите, что центры вписанной, вневписанной со
стороны BC и описанной окружностей, а также ортоцентр лежат на одной окружности.
135. В неравнобедренном треугольнике ABC проведена высота из вершины B и биссектрисы внешних углов из двух других вершин. Докажите, что описанная окружность треугольника, образованного этими тремя прямыми, касается внутренней биссектрисы, проведенной из вершины
B.
136. Дан треугольник ABC с ортоцентром H. Окружность, построенная на отрезке AH как на
диаметре, пересекает окружность (BCH) в точке S. Докажите, что прямая AH делит отрезок
BC пополам.
137. Биссектрисы внешних углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке Ia и пересекают
описанную окружность в точках B1 и C1. Прямая B1C1 пересекает прямую, проходящую через
Ia параллельно BC в точке P. Докажите, что прямая P A касается описанной окружности
треугольника ABC.
138. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Вписанные в треугольники ABC и ACD окружности
касаются диагонали AC в точках X и Y соответственно. Вписанные в треугольники ABD и
CBD окружности касаются диагонали BD в точках Z и T соответственно. Докажите, что
XY = ZT.
139. На столе лежат четыре монеты (необязательно одного размера), причем каждая монета касается ровно двух других. Докажите, что четыре точки касания лежат на одной окружности.
140. Обозначим за ?a, ?b и ?c вневписанные окружности треугольника ABC, а за I — центр вписанной окружности его серединного треугольника. Докажите, что длинны трех касательных,
проведенных из точки I к ?a, ?b и ?c равны.
141. Прямая ? пересекает стороны AB и AC треугольника в точках C1 и B1, а продолжение стороны
BC в точке A1. Точки C2, B2 и A2 симметричны точкам C1, B1 и A1 относительно середин
отрезков AB, AC и AB. Докажите, что точки A2, B2 и C2 также лежат на одной прямой.
142. В треугольнике ABC с ?A = 60? проведены высоты BB1 и CC1. Найдите B1C1, если BC = 1.
143. На стороне BC вписанного четырехугольника ABCD выбрана точка P, а на стороне AD точка Q так, что окружность (AP D) касается BC, а окружность (BQC) касается прямой AD.
Докажите, что прямая P Q образует равные углы с AD и BC.
144. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке P. Докажите, что
отрезок, соединяющий ортоцентры треугольников AP B и CP D перпендикулярен отрезку, соединяющему точки пересечения медиан треугольников BP C и AP D.