Решение задачи по топологии

нужно будет подробно объяснить решение, ссылаясь на известные теоремы и свойства.

Хаусдорфово топологическое пространство локально компактно, если у каждой его точки есть компактная окрестность, или, что равносильно, если у каждой его точки есть открытая окрестность с компактным замыканием. Необходимо проверить, что эти условия действительно равносильны и подробно ответить на следующий вопрос: Может ли локально компактное хаусдорфово пространство X, на котором все непрерывные функции X->R ограничены, содержать бесконечное замкнутое дискретное множество?